Prove#

本题题意就是给了一个函数$f(x,y,z) = x^a + y^b + z^c$，求这个函数在约束条件$g(x,y,z) = x + y + z - S$下的最大值。

首先，设拉格朗日函数：

$L(x,y,z,\lambda) = f - \lambda \cdot g$

然后对各个变量求偏导数：

$\frac{\partial L}{\partial x} = y^b\cdot z^c \cdot ax^{a-1} - \lambda$

$\frac{\partial L}{\partial y} = x^a\cdot z^c \cdot by^{b-1} - \lambda$

$\frac{\partial L}{\partial z} = x^a\cdot y^b \cdot cz^{c-1} - \lambda$

$\frac{\partial L}{\partial \lambda} = x + y + z - S$

可以解出：

$\frac{x}{a} = \frac{y}{b} = \frac{z}{c}$

所以：

$x = \frac{S\cdot a}{a+b+c}, y = \frac{S\cdot b}{a+b+c}, z = \frac{S\cdot c}{a+b+c}$

代码#

1
#include<iostream>
2
#include<cstdio>
3
#include<vector>
4
#include<iomanip>
5
using namespace std;
6

7
const int MAXN = 1e5 + 7;
8
const int mod = 1e9 + 7;
9
typedef long long ll;
10

11
int main(){
12
    cout << fixed;
13
    int s;
14
    int a, b, c;
15
    cin >> s >> a >> b >> c;
16
    if(a + b + c == 0){
17
        cout << 0 << ' ' << 0 << ' ' << 0 << endl;
18
    } else {
19
        cout << setprecision(12) << (1.0*s*a/(a+b+c)) << ' ' << (1.0*s*b/(a+b+c)) << ' ' << (1.0*s*c/(a+b+c)) << endl;
20
    }
21
    return 0;
22
}

Prove#

约束条件下的极值问题，可以用拉格朗日乘子法解决。

约束条件： $g(\boldsymbol w) = \sum_{i=1}^{n}{w_i} - 1$

极值方程：

$f(\boldsymbol w) = \sum_{i=1}^{n}{(w_i^2 \cdot \sigma_i^2)} = \sum_{i=1}^{n}(w_i^2 \cdot \frac{1}{i})$

拉格朗日方程：

$L(\boldsymbol w, \lambda) = f(\boldsymbol w) - \lambda \cdot g(\boldsymbol w)$

分别对 $\boldsymbol w , \lambda$ 求导：

$\frac{\partial(L)}{\partial(w_i)} = 2 \frac{w_i}{i} - \lambda$

$\frac{\partial(L)}{\partial(\lambda)} = g(\boldsymbol{w}) = 1 - \sum_{i=1}^{n}{w_i}$

则有：

$w_i = \frac{\lambda \cdot i}{2}$

移项：